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Soient :

1^o $x=1,\ y=0,\ z=0,\ u=1\,;$ donc $\alpha =\varphi ,\ \beta =1\,;$ substituant ces valeurs, on a

$\varphi ^{2}-7\varphi +1=0\,;$

faisant $\varphi =1,\ 2,\ldots$ jusqu’à $\varphi =6,$ on a des résultats négatifs ; mais $\varphi =7$ donne le résultat $1,$ donc $\varphi =6\,;$ donc

$\alpha =6,\quad \beta =1,\quad \mathrm {R} ={\frac {3}{7}}.$

2^o $x=6,\ y=1,\ z=1,\ u=0\,;$ donc $\alpha =6\varphi +1,\ \beta =\varphi ,$ et l’on a l’équation

$5\varphi ^{2}-5\varphi -1=0.$

Ici $\varphi =1$ donne le résultat $-1,$ $\varphi =2$ donne $9\,;$ donc $\varphi =1,$ et de là

$\alpha =7,\quad \beta =1,\quad \mathrm {R} ={\frac {3}{8}}.$

3^o $x=7,\ y=6,\ z=1,\ u=1\,;$ donc $\alpha =7\varphi +6,\ \beta =\varphi +1,$ et, substituant, on a l’équation

$\varphi ^{2}-5\varphi -5=0.$

Faisant $\varphi =1,\ 2,\ldots$ jusqu’à $\varphi =5,$ on a des résultats négatifs ; mais $\varphi =6$ donne le résultat $1,$ donc $\varphi =5\,;$ et de là

$\alpha =41,\quad \beta =6,\quad \mathrm {R} ={\frac {3}{47}},\quad$

et ainsi de suite.

8. Telle est la méthode d’approximation que Fontaine a donnée sans démonstration dans son Mémoire de 1747 et qu’il a redonnée de même dans le Recueil de ses Mémoires. Elle suppose, comme l’on voit, que l’on peut toujours, par la substitution des nombres $1,2,3,\ldots$ au lieu de $\varphi$ dans les différentes équations en $\varphi ,$ trouver deux nombres qui donnent des résultats de signe différent, ce qui, par ce que nous avons démontré dans le Chapitre I (n^o 5 et suiv.), n’a lieu qu’autant que ces