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d’où l’on voit que ces racines seront au nombre de $m(m-1),$ e t que de plus elles seront égales deux à deux et de signes contraires ; de sorte que l’équation en $u$ manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de $u\,;$ donc, en faisant ${\frac {m(m-1)}{2}}=n$ et $u^{2}=\upsilon ,$ l’équation dont il s’agit sera de cette forme

(D)

$\upsilon ^{n}-a\upsilon ^{n-1}+b\upsilon ^{n-2}-c\upsilon ^{n-3}+\ldots =0\,;$

2^o Que $(\alpha -\beta )^{2},\ (\alpha -\gamma )^{2},\ (\beta -\gamma )^{2},\ldots$ étant les différentes valeurs de $\upsilon$ dans l’équation (D), le coefficient $a$ sera égal à la somme de toutes ces valeurs, le coefficient $b$ sera la somme de tous leurs produits deux à deux, etc.

Or il est facile de voir que

${\begin{aligned}&(\alpha -\beta )^{2}+(\alpha -\gamma )^{2}+(\beta -\gamma )^{2},\ldots \\&\qquad =(m-1)\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots \right)-2\left(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\ldots \right)\,;\end{aligned}}$

mais on sait que

$\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\ldots =\mathrm {B} \quad {\text{et}}\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots =\mathrm {A^{2}-2B} \,;$

donc on aura

$a=(m-1)\mathrm {\left(A^{2}-2B\right)-2B} ,$

savoir

$a=(m-1)\mathrm {A} ^{2}-2m\mathrm {B} \,;$

et l’on pourra, de la même manière, trouver la valeur des autres coefficients $b,c,\ldots .$

Pour y parvenir plus facilement, supposons

${\begin{aligned}&\mathrm {A} _{1}=\alpha \ \,+\beta \ \,+\gamma \ \,+\ldots ,\\&\mathrm {A} _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {A} _{3}=\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$