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et soit $u$ la différencie entre les deux racines $x$ et $x',$ de manière que l’on ait $x'=x+u\,;$ substituant cette valeur de $x$ dans la dernière équation et ordonnant les termes par rapport à $u,$ on aura une équation en $u$ du même degré $m,$ laquelle, en commençant par les derniers termes, sera de cette forme

$\mathrm {X} +\mathrm {Y} u+\mathrm {Z} u^{2}+\mathrm {V} u^{3}+\ldots +u^{m}=0,$

les coefficients $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ étant des fonctions de $x$ telles que

${\begin{aligned}&\mathrm {X} =x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots ,\\&\mathrm {Y} =mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots ,\\&\mathrm {Z} ={\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}-{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} x^{m-3}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire, suivant la notation du Calcul différentiel,

$\mathrm {Y} ={\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\quad \mathrm {V} ={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}},\quad \ldots \,;$

donc, puisque par l’équation donnée (B) on a $\mathrm {X} =0,$ l’équation précédente étant divisée par $u$ deviendra celle-ci :

(C)

$\mathrm {Y} +\mathrm {Z} u+\mathrm {V} u^{2}+\ldots +u^{m-1}=0.$

Cette équation, si l’on y substitue pour $x$ une quelconque des racines de l’équation (B), aura pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres de la même équation (B) ; donc, si l’on combine les équations (B) et (C) en éliminant $x,$ on aura une équation en $u,$ dont les racines seront les différences entre chacune des racines de l’équation (B) et toutes les autres racines de la même équation ce sera l’équation cherchée.

Mais, sans exécuter cette élimination, qui serait souvent fort laborieuse, il suffira de considérer :

1^o Que $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant les racines de l’équation en $x,$ celles de l’équation en $u$ seront

$\alpha -\beta ,\ \alpha -\gamma ,\quad \ldots ,\quad \beta -\alpha ,\ \beta -\gamma ,\quad \ldots ,\quad \gamma -\alpha ,\ \gamma -\beta ,\quad \ldots \,;$