un nombre qui n’est pas de la forme parce que ces diviseurs dépendent alors d’équations de degrés pairs.
13. Euler a approfondi cette théorie dans un Mémoire imprimé en 1751 dans le Recueil des Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1749, et il s’est attaché principalement à prouver que toute équation d’un degré exprimé par une puissance de est décomposable en deux équations réelles d’un degré moindre de la moitié pour cela, il suppose que l’équation proposée est privée de son second terme, ce qui fait que le coefficient du second terme est le même avec des signes contraires dans les deux équations dont elle est le produit, et il trouve, par la théorie des combinaisons, que ce coefficient est donné par une équation d’un degré impairement pair, qui manque de toutes les puissances impaires, et dont le dernier terme est le carré d’une fonction des racines de la proposée, précédé du signe
Euler suppose que cette fonction des racines peut toujours être déterminée sans irrationnalité par les coefficients de l’équation proposée, et il en conclut que son carré est nécessairement une quantité positive et que par conséquent l’équation qui détermine le coefficient dont il s’agit a deux racines réélles ; il arrive en effet que cela a lieu lorsque l’équation proposée n’est que du quatrième degré, comme on le voit par les formules de Descartes rapportées ci-dessus ; mais, pour les équations des degrés plus élevés, il faut une démonstration a priori, qu’Euler n’a point donnée, et qui est même d’autant plus nécessaire que cette fonction, ne contenant pas toutes les racines de la même manière, ne paraît pas déterminable par une fonction rationnelle des coefficients, qui sont eux-mêmes, comme l’on sait, des fonctions où toutes les racines entrent également.
Euler considère, de plus, les équations dont les degrés sont exprimés par les nombres étant un nombre impair quelconque, et il trouve qu’elles admettent des diviseurs réels des degrés parce que les équations dont ces diviseurs dépendent sont toutes de degrés impairs de sorte que par ce moyen toute équation peut se
