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racine réelle ; donc $t$ et $\mathrm {T}$ auront des valeurs réelles, et l’équation

$u^{2}-ut+\mathrm {T} =0$

donnera pour $u$ une valeur réelle ou imaginaire de la forme $p+q{\sqrt {-1}}.$ Dans le premier cas, $u$ et $\mathrm {U}$ seront des quanti tés réelles ; dans le second, ces quantités seront imaginaires de la même forme, puisque $\mathrm {U}$ est une fonction rationnelle de $u.$ Mais l’équation

$x^{2}-ux+\mathrm {U} =0$

donne

$x={\frac {u}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {u^{2}}{4}}-\mathrm {U} }}\,;$

donc, par la réduction des radicaux imaginaires, cette valeur deviendra aussi de la forme $p+q{\sqrt {-1}}.$

Si $\mu$ est un nombre plus grand que $2,$ on continuera le même calcul, et l’on divisera l’équation en $t,$ du degré $2^{\mu -2}\rho ,$ par une équation du second degré, comme

$t^{2}-st+\mathrm {S} =0\,;$

on aura, pour la détermination de $s,$ une équation du degré

${\frac {2^{\mu -2}\rho \left(2^{\mu -2}\rho -1\right)}{2}}=2^{\mu -3}\rho \left(2^{\mu -2}\rho -1\right)=2^{\mu -3}\sigma ,$

$\sigma$ étant, comme l’on voit, un nombre impair, et la quantité $\mathrm {S}$ sera généralement une fonction rationnelle de $s$.

Donc, si $\mu =3,$ cette équation, étant d’un degré impair, aura une racine réelle ; donc $s$ et $\mathrm {S}$ auront des valeurs réelles ; donc l’équation

$t^{2}-st+\mathrm {S} =0$

donnera pour $t$ une valeur réelle ou imaginaire de la forme $p+q{\sqrt {-1}}.$ Donc, dans l’équation

$u^{2}-tu+\mathrm {T} =0,$

les coefficients $t$ et $\mathrm {T}$ auront des valeurs réelles ou imaginaires de la même forme ; et de là résultera aussi pour $u$ une valeur réelle ou