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imaginaire de la même forme $p+q{\sqrt {-1}},$ comme nous l’avons vu ci-dessus, parce que

$u={\frac {t}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {t^{2}}{4}}-\mathrm {T} }}\,;$

donc enfin l’équation

$x^{2}-ux+\mathrm {U} =0$

donnera aussi pour $x$ une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.

Si $\mu$ est plus grand que $3,$ on continuera le calcul de la même manière, et l’on parviendra nécessairement à un diviseur du second degré dont les coefficients seront réels ; et de là, en remontant successivement aux diviseurs précédents du second degré, on trouvera que leurs coefficients seront réels ou imaginaires de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ jusqu’au diviseur

$x^{2}-ux+\mathrm {U} =0$

de l’équation proposée, lequel donnera aussi pour $x$ une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.

Telle est la démonstration donnée par Foncenex ; on voit qu’elle est très-rigoureuse, en admettant le principe que les coefficients de l’équation du second degré, qui est un diviseur d’une équation du degré $n,$ ne dépendent que d’une seule racine d’une équation du degré ${\frac {n(n-1)}{2}}.$ Ce principe est vrai généralement ; mais j’ai remarqué depuis qu’il était sujet à des exceptions qui pouvaient mettre la démonstration précédente en défaut. En effet, lorsqu’on cherche à rendre un polynôme d’un degré quelconque $m$ divisible par un autre polynôme d’un degré moindre $n,$ soit qu’on fasse la division à la manière ordinaire et qu’on égale ensuite à zéro chaque terme du reste, soit qu’on multiplie ce polynôme par un autre du degré $m-n$ et que l’on compare le produit terme à terme avec le polynôme proposé, on parvient toujours par l’élimination successive, en prenant un des coefficients du polynôme diviseur pour l’inconnue principale, à déterminer les autres coefficients du même polynôme par des fonctions ration-