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et, en général,

${\begin{aligned}a_{\mu }=&m\mathrm {A} _{2\mu }-2\mu \mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2\mu -1}+{\frac {2\mu (2\mu -1)}{2}}\mathrm {A} _{2}\mathrm {A} _{2(\mu -2)}-\ldots \\&\pm {\frac {2\mu (2\mu -1)(2\mu -2)\ldots (\mu +1)}{1.2.3\ldots \mu }}{\frac {\mathrm {A} _{\mu }^{2}}{2}}.\end{aligned}}$

Les quantités $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ étant ainsi connues, on aura sur-lechamp les valeurs des coefficients $a,b,c,\ldots$ de l’équation (D) par les formules

${\begin{aligned}&a=a_{1},\\&b={\frac {aa_{1}-a_{2}}{2}},\\&c={\frac {ba_{1}-aa_{2}+a_{3}}{3}},\\&d={\frac {ca_{1}-ba_{2}+aa_{3}-a_{4}}{4}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi l’on pourra déterminer directement les coefficients $a,b,c,\ldots$ de l’équation (D) par ceux de l’équation donnée (B). Pour cela on cherchera d’abord, par les formules ci-dessus, les valeurs des quantités $\mathrm {A_{1},A_{2},A_{3}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {A} _{2n}\,;$ ensuite, à l’aide de celles-ci, on cherchera celle des quantités $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ jusqu’à $a_{n},$ et enfin, par ces dernières, on trouvera les valeurs cherchées des coefficients $a,b,c,\ldots .$

9. Remarque. — Il est bon de remarquer que l’équation (D) exprime également les différences entre les racines positives et négatives de l’équation (B) ; de sorte que la même équation aura lieu aussi lorsqu’on changera $x$ en $-x$ pour avoir les racines négatives (n^o 4).

De plus, il est clair que l’équation (D) sera toujours la même, soit qu’on augmente ou qu’on diminue toutes les racines de l’équation proposée d’une même quantité quelconque ; donc, si cette équation a son second terme, on pourra le faire disparaître et chercher ensuite l’équation en $\upsilon \,;'$on aura ainsi la même équation qu’on aurait eue si l’on n’avait pas fait évanouir le second terme. Mais l’évanouissement