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par $4,$ etc., on aura

$\mu ={\frac {2\left(2^{\rho }-1\right)\left(2^{\rho -1}-1\right)\ldots \left(2^{\rho }-2^{\rho -1}+1\right)}{\left(2^{\rho -1}-1\right)\left(2^{\rho -2}-1\right)\ldots \left(2^{\rho -1}-2^{\rho -1}+1\right)}}.$

Comme tous les facteurs du numérateur, à l’exception du premier $2,$ ainsi que tous les facteurs du dénominateur, sont impairs, il s’ensuit que le nombre $\mu ,$ qui est d’ailleurs entier par sa nature, sera nécessairement de la forme $2i,$ $i$ étant un nombre impair.

Considérons dans ce cas l’équation en $u\,;$ puisque le degré du diviseur est la moitié de celui du polynôme, les racines de cette équation seront tous les produits qu’on pourra faire en prenant la moitié des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ dont le nombre est supposé pair. Donc, puisque le produit de toutes ces quantités est $h,$ il s’ensuit que, si $u$ est un de ces produits partiels, ${\frac {h}{u}}$ en sera un autre ; par conséquent, si $u$ est une racine de l’équation dont il s’agit, ${\frac {h}{u}}$ en sera une aussi. Cette équation devra donc demeurer la même, en y substituant ${\frac {h}{u}}$ pour $u$.

Par cette substitution, l’équation

$u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots -\mathrm {R} u^{3}+\mathrm {S} u^{2}-\mathrm {T} u+\mathrm {V} =0$

deviendra, après avoir été multipliée par $u^{w}m$ et divisée par $\mathrm {V} ,$

$u^{\mu }-{\frac {h\mathrm {T} }{\mathrm {V} }}u^{\mu -1}+{\frac {h^{2}\mathrm {S} }{\mathrm {V} }}u^{\mu -2}-{\frac {h^{3}\mathrm {R} }{\mathrm {V} }}u^{\mu -3}+\ldots$

$-{\frac {h^{\mu -3}\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}u^{3}+{\frac {h^{\mu -2}\mathrm {B} }{\mathrm {V} }}u^{2}-{\frac {h^{\mu -1}\mathrm {A} }{\mathrm {V} }}u+{\frac {h^{\mu }}{\mathrm {V} }}=0,$

et, comme ces deux équations doivent être identiques, on aura

$\mathrm {A} ={\frac {h\mathrm {T} }{\mathrm {V} }},\quad \mathrm {B} ={\frac {h^{2}\mathrm {S} }{\mathrm {V} }},\quad \mathrm {C} ={\frac {h^{3}\mathrm {R} }{\mathrm {V} }},\quad \ldots \,;$

mais on a trouvé ci-dessus $\mathrm {V} =h^{\nu },$ $\nu$ étant $={\frac {\mu n}{m}}={\frac {\mu }{2}}$ (à cause de $m=2n,$ dans le cas présent), et par conséquent impair ; on aura donc

$\mathrm {T=A} h^{\nu -1},\quad \mathrm {S=B} h^{\nu -2},\quad \mathrm {R=C} h^{\nu -3},\quad \ldots \,;$