ainsi, en substituant
à la place de
et réunissant les termes également éloignés du milieu, l’équation en
deviendra
![{\displaystyle u^{2\nu }+h^{\nu }-\mathrm {A} \left(u^{2\nu -1}+h^{\nu -1}u\right)+\mathrm {B} \left(u^{2\nu -2}+h^{\nu -2}u^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae8d4d5968a0a9df226c7cf6de4e5653f484b30)
![{\displaystyle -\mathrm {C} \left(u^{2\nu -3}+h^{\nu -3}u^{3}\right)+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cdf85d33b94e8d18cb2dca465a9adfb1b6048f)
14. C’est la forme générale des équations qu’on appelle réciproques, et qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié.
En effet, en divisant l’équation précédente par
elle devient
![{\displaystyle u^{\nu }+{\frac {h^{\nu }}{u^{\nu }}}-\mathrm {A} \left(u^{\nu -1}+{\frac {h^{\nu -1}}{u^{\nu -1}}}\right)+\mathrm {B} \left(u^{\nu -2}+{\frac {h^{\nu -2}}{u^{\nu -2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a6d1d48b08955c880e8dd36f103837bd85358c)
![{\displaystyle -\mathrm {C} \left(u^{\nu -3}+{\frac {h^{\nu -3}}{u^{\nu -3}}}\right)+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e5cc00386d7deeb0f760e25dd9f35c88d28349)
Or, si l’on fait
![{\displaystyle y=u+{\frac {h}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d0c6876bd48f12dfce530c41c5bf20783387c6)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{2}=&u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}+2h,\\y^{3}=&u^{3}+{\frac {h^{3}}{u^{3}}}+3h\left(u+{\frac {h}{u}}\right),\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1c4129e42402c008bb6b0902f33f6ee6f86e08)
d’où l‚on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\ \,+{\frac {h}{u}}\ \,=&y,\\u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}=&y^{2}-2h,\\u^{3}+{\frac {h^{3}}{u^{3}}}=&y^{3}-3hy,\\..\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2a58be795b0df217e37bcf56c2e5a49087b4bf)
et en général
![{\displaystyle u^{\lambda }+{\frac {h^{\lambda }}{u^{\lambda }}}=y^{\lambda }-\lambda hy^{\lambda -2}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}h^{2}y^{\lambda -4}-{\frac {\lambda (\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}h^{3}y^{\lambda -6}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206d57b8d8fb731c5dc32d0ed68e1d53056180fe)
Par le moyen de ces substitutions, l’équation en
du degré
sera transformée en une équation en
du degré
laquelle sera de la forme
![{\displaystyle y^{\nu }-(\mathrm {A} )y^{\nu -1}+(\mathrm {B} )y^{\nu -2}-(\mathrm {C} )y^{\nu -3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f678f72090e534e79de04ec6eda79c935683270e)