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NOTE XI.

SUR LES FORMULES D’APPROXIMATION POUR LES RACINES DES ÉQUATIONS.

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Nous avons vu dans la Note V que la méthode de Newton consiste à substituer successivement dans une même fonction les résultats des substitutions précédentes ; ainsi l’on peut réduire en formule le résultat général de ces substitutions.

1. Soient

$\operatorname {F} (x)=0$

l’équation proposée, et $a$ la première valeur approchée d’une des racines de cette équation. Suivant la méthode dont il s’agit, on substitue $a+p$ à la place de $x,$ et l’on rejette dans le développement tous les termes où $p$ monte au-dessus de la première dimension.

Par le développement connu des fonctions, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ devient

$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots =0,$

et se réduit d’abord à

$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)=0,$

d’où l’on tire

$p=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}.$

Ainsi, $a$ étant une première approximation, si l’on fait $b=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}},$ on aura $a+b$ pour seconde approximation, et celle-ci donnera de la même manière, en faisant $c=-{\frac {\operatorname {F} (a+b)}{\operatorname {F} '(a+b)}},$ la troisième approximation