suivant les puissances positives de 
et l’on trouvera
![{\displaystyle (n)={\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}+\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'+\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\left[{\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}}\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c17d9eabc98caa135e894e797d2fe63638d1b91)
en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de 
.
7. Nous remarquerons ici que, en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant 
on pourra avoir les expressions des termes multipliés par 
dans les développements de ![{\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\left[u-x+f(x)\right]^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964b6b8fa1029c1fee30aadafb043079aabb4b7d)
de ![{\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\left[u-x+f(x)\right]^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83b7d627344eb8182f80339e1991e77dda34f25)
de ![{\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\left[u-x+f(x)\right]^{4}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459c02c1f9f80654ccf9360f9160e3a3b9a8e5b3)
Ainsi en désignant par 
les fonctions dérivées, première, seconde, … de la fonction de désignée par 
on aura
pour les expressions des termes dont il s’agit. Et, pour avoir les valeurs de 
il n’y aura qu’à ajouter un trait, deux traits, … aux fonctions ![{\displaystyle {\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}},\ \left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bffd9f92601955a99139fce0f7d5ea0606e422)
de l’expression de 
8. Supposons qu’on demande le terme général 
de la série provenant du développement de la fraction rationnelle
On divisera d’abord le numérateur et le dénominateur par 
pour le réduire à la forme 
et l’on aura, par la comparaison avec cette formule,
