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On aura ainsi

${\begin{aligned}(n)&=\mathrm {P} \left[(2\cos \omega )^{n}-(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}+{\frac {(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-5)(n-4)(n-3)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-6}+\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[(2\cos \omega )^{n-1}-(n-2)(2\cos \omega )^{n-3}+{\frac {(n-4)(n-3)}{2}}(2\cos \omega )^{n-5}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-6)(n-5)(n-4)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-3}+\ldots \right],\\\end{aligned}}$

où il suffira de ne point admettre de puissances négatives de $\cos \omega .$

Cette expression peut se réduire à une forme plus simple en employant les formules connues des sinus des angles multiples ; on aura par ce moyen

$(n)=\mathrm {P} {\frac {\sin(n+1)\omega }{\sin \omega }}+\mathrm {Q} {\frac {\sin n\omega }{\sin \omega }},$

comme Euler l’a trouvé dans l’Introduction à l’Analyse ; mais la formule précédente a l’avantage de pouvoir s’appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque.

En effet, pour la fraction ${\frac {\mathrm {P+Q} x}{\left(1-2x\cos \omega +x^{2}\right)^{2}}},$ on aura le terme général $-(n)'x^{n},$ et, en prenant la fonction dérivée de l’expression de $(n)$ en $u,$ on aura

${\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} \left[{\frac {(n+1)u^{-n-2}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-1)nu^{-n-1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)u^{-n}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[{\frac {nu^{-n-1}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-2)(n-1)u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

et, substituant pour $u$ sa valeur ${\frac {1}{2\cos \omega }},$ il viendra

${\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} {\biggl [}(n+1)(2\cos \omega )^{n+1}-(n-1)n(2\cos \omega )^{n-1}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{2}}(2\cos \omega )^{n-3}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} {\biggl [}n(2\cos \omega )^{n}-(n-2)(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}-\ldots \right],\end{aligned}}$