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où il suffira aussi de pousser les séries jusqu’aux puissances négatives de $\cos \omega$ exclusivement, et ainsi de suite.

9. Reprenons maintenant l’expression générale en $u$ du coefficient $(n)$ de la puissance $x^{n}$ dans le développement de la fraction ${\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}},$ et supposons que le numérateur $\varphi (x)$ soit $1-f'(x),$ ou plus généralement de la forme $\psi (x)\left[1-f'(x)\right],$ c’est-à-dire qu’il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement par une fonction $\psi (x),$ qu’on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de $\psi (u)\left[1-f'(u)\right]$ au lieu de $\varphi (u),$ on aura

${\begin{aligned}(n)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}-{\frac {\psi (u)f'(u)}{u^{n+1}}}&+\left[{\frac {\psi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'\ \ \,-\left[{\frac {\psi (u)f(u)f'(u)}{u^{n+1}}}\right]'\\&+\left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''-\left[{\frac {\psi (u)f'(u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\ldots .\\\end{aligned}}$

Or

${\begin{aligned}\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'f(u),\\\left[{\frac {\psi (u)}{2u^{n+1}}}f^{2}(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}},\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''=\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)\right]'+\left\{\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}}\right\}'.$

Donc, faisant ces réductions et supposant, pour abréger,

$\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}},$

on aura

$(u)=\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .$

Cette formule servira à trouver l’expression du terme général $(n)x^{n}$ dans le développenent de la fraction

${\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}$