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le simple développement des puissances $n$^ièmes, puisque le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ disparaît de lui-même, et d’ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.

Pour vérifier l’autre partie, il faut réduire en série le radical lui-même. Ainsi, en faisant, par exemple, $n=1,$ la série devient

${\frac {b}{a}}-{\frac {c}{b}}-{\frac {2ac^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {3.4a^{2}c^{4}}{2.3b^{5}}}-\ldots ,$

laquelle peut se mettre sous cette forme

${\frac {b}{2a}}+{\frac {b}{2a}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {2c}{b}}+{\frac {1.1}{2.4}}.{\frac {8ac^{2}}{b^{3}}}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}.{\frac {32a^{2}c^{3}}{b^{5}}}-\ldots .$

Or cette série est évidemment égale à

${\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.$

18. Soit l’équation indéfinie

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0\,;$

on fera, dans la formule générale du théorème ci-dessus,

$f(u)={\frac {cu^{2}-du^{3}+eu^{4}-fu^{5}+\ldots }{b}},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f^{2}(u)=&{\frac {c^{2}u^{4}-2cdu^{5}+(d^{2}+2ce)u^{6}+\ldots }{b^{2}}},\\f^{3}(u)=&{\frac {c^{3}u^{6}-3cdu^{7}+\ldots }{b^{3}}},\\f^{4}(u)=&{\frac {c^{4}u^{8}-\ldots }{b^{4}}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$