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17. Ainsi, comme nous avons déjà trouvé plus haut, pour les racines $\alpha$ et $\beta$ de l’équation $cx^{2}-bx+a=0,$ on a la formule

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=$

$\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,$

en ne continuant la série que tant qu’il y a de puissances positives de ${\frac {b}{a}}\,;$ si l’on continue cette même série à l’infini sans aucune interruption, on aura alors la valeur du seul terme ${\frac {1}{\alpha ^{n}}},r$ en prenant pour $\alpha$ la plus petite des deux racines $\alpha$ et $\beta ,$ et même on pourra y faire $n$ positif ou négatif à volonté.

Les deux racines de l’équation $cx^{2}-bx+a=0$ étant $\alpha$ et $\beta ,$ celles de l’équation $ax^{2}-bx+c=0$ seront ${\frac {1}{\alpha }}$ et ${\frac {1}{\beta }},$ et l’on aura

${\frac {1}{\alpha }}={\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},\quad {\frac {1}{\beta }}={\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},$

$\alpha$ étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série

$\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+\ldots ,$

en ne retenant que les puissances positives de ${\frac {b}{a}},$ c’est-à-dire les puissances négatives de $a,$ sera égale à

${\frac {\left(b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)^{n}+\left(b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)^{n}}{(2a)^{n}}},$

$n$ étant un nombre entier quelconque, et, si l’on continue la série à l’infini, elle deviendra égale à

$\left({\frac {b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)^{n},$

$n$ étant un nombre quelconque positif ou négatif.

La première partie de cette proposition est facile à vérifier par