n’avait encore trouvée que par la méthode des indéterminées. L’analyse précédente, en même temps qu’elle donne la loi de cette formule et le moyen de la continuer aussi loin qu’on voudra, fait voir que la valeur de
qu’elle exprime est la plus petite des racines de l’équation proposée.
20. Si l’on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur de
dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b8de6e4a526a0f89fcb4c4a7bf3059025c90a0)
que nous avons considérée au commencement de cette Note, il n’y aura plus qu’à substituer
au lieu de
et
au lieu de
on aura ainsi
![{\displaystyle p=-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\operatorname {F} (a)-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}}\operatorname {F} ^{2}(a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)\operatorname {F} '''(a)-3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2.3\operatorname {F} '^{5}(a)}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f0ec98812ec8d8de8f12fd92b8f238827e58e6)
ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.
Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donnée plus haut. En effet, puisque
est une des valeurs de
ce théorème peut se présenter ainsi.
21. L’équation
![{\displaystyle x=u+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938e25f5094371340e6566f5aa6a5edab45025e)
donne, en général
![{\displaystyle x^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1d4d6c533ea5f1c28a3db53c615f09851434ca)
Or, soit
une fonction quelconque donnée de
on peut la supposer réduite à la forme
![{\displaystyle \mathrm {M} x^{r}+\mathrm {N} x^{s}+\mathrm {P} x^{t}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d18b1dc68da4bce9df362eec1669f602d14ae2)
ainsi, pour la valeur de
il n’y aura qu’à ajouter ensemble les