valeurs de 
multipliées respectivement par 
on aura par ce moyen une formule dans laquelle, à la place de 
il y aura
c’est-à-dire 
, et par conséquent 
à la place de 
De là résulte enfin ce nouveau théorème, remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité :
L’équation
donne
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=\operatorname {F} (u)+\operatorname {F} '(u)f(u)+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{2}(u)\right]'+{\frac {1}{2.3}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{3}(u)\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73eb12caa7a85eceebb8db677338caf23e56159)
où les fonctions désignées par les caractéristiques 
et 
peuvent être quelconques.
En effet ce théorème, présenté de cette manière, est indépendant de la considération des racines et n’est plus qu’un résultat de la transformation des fonctions, qu’on peut vérifier par l’élimination successive de 
ou de 
J’ai donné le premier ce théorème dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1768 ; j’y étais parvenu par une analyse à peu près semblable à la précédente, mais moins rigoureuse. Plusieurs géomètres se sont occupés depuis à le démontrer a posteriori par le développement des fonctions ; mais Laplace en a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1777, une démonstration directe et élégante, tirée du Calcul différentiel ; c’est cette démonstration que j’ai transportée dans la Théorie des fonctions (no 99).
Il est bon de remarquer qu’en faisant 
l’équation devient 
laquelle peut représenter une équation quelconque en 
et l’on aura la valeur d’une fonction quelconque 
en faisant dans la série
![{\displaystyle \operatorname {F} (u)+\operatorname {F} '(u)f(u)+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{2}(u)\right]'+{\frac {1}{2.3}}\left[\operatorname {F} '(u)f^{3}(u)\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9005abd8ef3e9d8d06062cc15a512a6695299777)
après le développement des fonctions, ce qui est beaucoup plus simple.
