la racine dont
et
sont les limites. Puisque
on aura
![{\displaystyle y={\frac {x-a}{b-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ea63cc86e8aafcb92210c642a27340af4a9ea1)
donc les racines de l’équation en
seront
![{\displaystyle {\frac {\alpha -a}{b-\alpha }},\quad {\frac {\beta -a}{b-\beta }},\quad {\frac {\gamma -a}{b-\gamma }},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db2fd5d0a1a5cded75787f5b2798505727c2c15)
Or on a, par l’hypothèse,
donc
donc la racine
sera positive et d’autant plus petite que la différence entre la limite
et la racine
sera moindre. Ensuite, comme les autres racines
sont supposées tomber hors des limites
et
si
on aura aussi nécessairement
donc
et
donc la racine
sera nécessairement négative. Si, au contraire,
on aura aussi
donc
et
donc
sera encore une quantité négative. Donc la racine
sera dans tous les cas négative. Il en sera de même de toute autre racine, comme
qui correspond à une racine réelle
de l’équation en
Mais supposons que
et
soient imaginaires ; elles seront nécessairement de la forme
![{\displaystyle \rho +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \rho -\sigma {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3463c64d0a800c18b664db0cf173a6aca6eaedaf)
et
étant des quantités réelles (Note IX) ; donc, faisant
la racine
deviendra
![{\displaystyle {\frac {\rho -a+\sigma {\sqrt {-1}}}{b-\rho -\sigma {\sqrt {-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa87c1f0113efafc5b123116d3a4bad77a68851e)
multiplions le haut et le bas par
on aura
![{\displaystyle {\frac {(\rho -a)(b-\rho )-\sigma ^{2}+(b-a)\sigma {\sqrt {-1}}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8b82f669db5ec6fa298977e883dfd0ceffe512)