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la racine dont $a$ et $b$ sont les limites. Puisque $x={\frac {a+by}{1+y}},$ on aura

$y={\frac {x-a}{b-x}}\,;$

donc les racines de l’équation en $y$ seront

${\frac {\alpha -a}{b-\alpha }},\quad {\frac {\beta -a}{b-\beta }},\quad {\frac {\gamma -a}{b-\gamma }},\quad \ldots .$

Or on a, par l’hypothèse, $a<\alpha <b\,;$ donc $\alpha -a>0,\ b-\alpha >0\,;$ donc la racine ${\frac {\alpha -a}{b-\alpha }}$ sera positive et d’autant plus petite que la différence entre la limite $a$ et la racine $\alpha$ sera moindre. Ensuite, comme les autres racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ sont supposées tomber hors des limites $a$ et $b,$ si $\beta <a,$ on aura aussi nécessairement $\beta <b\,;$ donc $\beta -a<0$ et $b-\beta >0\,;$ donc la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ sera nécessairement négative. Si, au contraire, $\beta >b,$ on aura aussi $\beta >a\,;$ donc $\beta -a>0$ et $b-\beta <0\,;$ donc ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ sera encore une quantité négative. Donc la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ sera dans tous les cas négative. Il en sera de même de toute autre racine, comme ${\frac {\gamma -a}{b-\gamma }},$ qui correspond à une racine réelle $\gamma$ de l’équation en $x.$

Mais supposons que $\beta$ et $\gamma$ soient imaginaires ; elles seront nécessairement de la forme

$\rho +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \rho -\sigma {\sqrt {-1}},$

$\rho$ et $\sigma$ étant des quantités réelles (Note IX) ; donc, faisant $\beta =\rho +\sigma {\sqrt {-1}},$ la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ deviendra

${\frac {\rho -a+\sigma {\sqrt {-1}}}{b-\rho -\sigma {\sqrt {-1}}}}\,;$

multiplions le haut et le bas par $b-\rho +\sigma {\sqrt {-1}},$ on aura

${\frac {(\rho -a)(b-\rho )-\sigma ^{2}+(b-a)\sigma {\sqrt {-1}}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}.$