où l’on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier donné, est toujours égal à celui des nombres moindres que et premiers à On peut voir sur ce sujet la Section III des Disquisitiones arithmeticæ.
Au reste, pour notre objet, il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné, et il sera toujours plus avantageux pour le calcul d’en connaître la plus petite.
5. Soit donc une racine primitive pour le nombre premier de manière que les termes de la progression géométrique étant divisés par donnent pour restes tous les nombres moindres que dont l’unité sera le dernier ; il est facile de voir que les racines (no 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l’ordre, être représentées par la série
car, comme on a par l’équation dont est supposé racine, il est visible qu’à la place de chaque puissance de comme lorsque on pourra toujours prendre la puissance où sera le reste de la division de par Ainsi, dans la série précédente, on pourra toujours réduire les exposants de à leurs restes après la division par restes que nous avons vus comprendre tous les nombres jusqu’à mais dans un ordre différent de l’ordre naturel, ce qui est ici indifférent pour les racines
L’avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que, si dans la série des racines
on met à la place de elle devient
et, si l’on y met à la place de elle devient
et ainsi de suite.