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$x''',$ etc., ainsi que par les permutations simultanées de $x'$ en $x'''$ $x''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., auxquelles répondent les changements de $r$ en $r^{a},$ en $r^{a^{2}},$ etc. (n^o 5).

7. Maintenant il est clair que toute fonction rationnelle et entière de $r$ dans laquelle $r^{\mu }=1$ peut toujours se réduire à la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {D} r^{3}+\ldots +\mathrm {N} r^{\mu -1},$

les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des quantités données, indépendantes de $r.$ On peut même prouver que toute fonction rationnelle de $r$ est réductible à cette forme, car, si elle a un dénominateur, on pourra toujours le faire disparaître en multipliant le haut et le bas de la fraction par un polynôme convenable en $r,$ comme nous l’avons vu dans la Note IV (n^o 3).

Or, puisque dans notre cas les puissances $r,r^{2},r^{3},\ldots ,r^{\mu -1}$ peuvent être représentées, quoique dans un autre ordre, par les puissances $r,r^{a},r^{a^{2}},$ $r^{a^{3}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}},$ on pourra également réduire toute fonction rationnelle de $r$ à la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} r^{a}+\mathrm {D} r^{a^{2}}+\mathrm {E} r^{\alpha ^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r^{a^{\mu -2}},$

en prenant pour $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ des coefficients quelconques indépendants de $r$.

Donc, si cette fonction est telle qu’elle doive demeurer la même en y mettant $r^{a}$ à la place de $r,$ il faudra que la nouvelle forme

$\mathrm {A} +\mathrm {B} r^{a}+\mathrm {C} r^{a^{2}}+\mathrm {D} r^{a^{3}}+\ldots +\mathrm {N} r$

(la puissance $r^{a^{\mu -2}}$ devenant $r^{a^{\mu -1}}$ se change en $r,$ puisque $r^{\mu }=1$ et $a^{\mu -1}$ divisé par $\mu$ donne le reste $1$) coïncide avec la précédente, ce qui donne ces conditions

$\mathrm {B=C,\quad C=D,\quad D=E,\quad \ldots ,\quad N=B} ,$

et réduit la forme de la fonction à celle-ci

$\mathrm {A+B} \left(r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}}\right).$