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$\alpha$ et $\beta$ étant des quantités réelles^[1] ; donc on aura

$u=\pm 2\beta {\sqrt {-1}},$

et par conséquent

$\upsilon =-4\beta ^{2}\,;$

d’où l’on voit que l’équation (D) aura nécessairement autant de racines réelles négatives qu’il y aura de couples de racines imaginaires dans l’équation (B).

Donc, si l’on fait $\upsilon =-\scriptstyle {\mathcal {W}},$ ce qui changera l’équation (D) en celle-ci

(G)

$\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n}+a\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n-1}+b\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n-2}+c\scriptstyle {\mathcal {W}}^{n-3}+\ldots =0,$

cette équation aura nécessairement autant de racines réelles positives qu’il y aura de couples de racines imaginaires dans l’équation (B).

17. Il suit de là que, pour avoir la valeur des racines imaginaires de l’équation (B), il n’y a qu’à chercher les racines réelles positives de l’équation (G). En effet, soient $\scriptstyle {\mathcal {W',W'',W'''}},\ldots$ ces racines, on aura d’abord ${\cfrac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}'}}{2}},{\cfrac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}''}}{2}},{\cfrac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}'''}}{2}},\ldots$ pour les valeurs de $\beta \,;$ ensuite, pour trouver les valeurs correspondantes de $\alpha ,$ on substituera, dans l’équation (B), $\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$ à la place de $x,$ et l’on fera deux équations séparées des termes tous réels et de ceux qui seront multipliés par ${\sqrt {-1}}\,;$ de cette manière, on aura deux équations en $\alpha$ de cette forme

(H)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha ^{m}+\mathrm {P} \alpha ^{m-1}+\mathrm {Q} \alpha ^{m-2}+\ldots &=0,\\m\alpha ^{m-1}+p\ \alpha ^{m-2}+q\ \alpha ^{m-3}+\ldots &=0,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles les coefficients $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,p,q,\ldots$ seront donnés en $a,b,c,\ldots$ et en $\beta .$

Donc, si l’on donne à $\beta$ quelqu’une des valeurs précédentes, il faudra nécessairement que ces deux équations aient lieu en même temps, et, par conséquent, il faudra qu’elles aient un diviseur commun. On cherchera donc leur plus grand commun diviseur, et, le faisant égal à

1. Voir la Note IX.