tiendra toutes les mêmes racines que l’équation proposéé avec cette différence que les racines multiples de cette équation seront simples dans l’équation Ainsi l’équation sera dans le cas des méthodes précédentes.
On peut encore, si l’on veut, trouver deux équations séparées dont l’une contienne seulement les racines égales de l’équation et dont l’autre contienne les racines inégales de la même équation. Pour cela, il n’y aura qu’à chercher de nouveau le plus grand commun diviseur des polynômes et et nommant ce diviseur on prendra le quotient de divisé par lequel étant nommé on fera ces deux équations et
La première contiendra seulement les racines inégales de l’équation et la seconde contiendra seulement les racines égales de la même équation, mais chacune une seule fois ; de sorte que les deux équations et n’auront que des racines inégales et par conséquent seront susceptibles des méthodes du Chapitre précédent.
16. Connaissant ainsi le nombre des racines réelles, tant inégales qu’égales de l’équation proposée, si ce nombre est moindre que le degré de l’équation, on en conclura que les autres racines sont nécessairement imaginaires.
En général, pour que l’équation (B) ait toutes ses racines réelles, il faut que les valeurs de soient réelles aussi ; donc il faudra que les valeurs de ou de soient toutes réelles et positives par conséquent, l’équation (D) du no 8 doit avoir toutes ses racines réelles positives ; donc il faudra, par la règle connue, que les signes de cette équation soient alternativement positifs et négatifs ; de sorte que si cette condition n’a pas lieu, ce sera une marque sûre que l’équation (B) a nécessairement des racines imaginaires.
Or on sait que les racines imaginaires vont toujours en nombre pair, et qu’elles peuvent se mettre deux à deux sous cette forme
