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on fera

$t_{1}=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\,;$

ensuite, en faisant

$\theta _{1}=t_{1}^{3}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi '',$

on trouvera, à cause de $\alpha ^{3}=1$ et $r^{7}=1,$

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&6+r^{3}+r^{6}+r^{5},\\\xi '\ =&3\left(r\ \ +r^{2}+r^{4}\right),\\\xi ''=&3\left(r^{3}+r^{6}+r^{5}\right),\end{aligned}}$

savoir,

$\xi =6+\mathrm {X} '',\quad \xi '=3\mathrm {X} ',\quad \xi ''=3\mathrm {X} ''\,;$

de sorte qu’on aura

$\theta _{1}=6+\mathrm {X''+3\alpha X'+3\alpha ^{2}X''} ,$

donc, en nommant $\alpha$ et $\beta$ les deux racines imaginaires de

$y^{3}-1=0,\quad {\text{savoir, de}}\quad y^{2}+y+1=0,$

lesquelles sont

$\alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}},$

et faisant

${\begin{aligned}\theta '_{1}\ =&6+\mathrm {X''+3\alpha X'+3\alpha ^{2}X''} ,\\\theta ''_{1}=&6+\mathrm {X''+3\beta X'+3\beta ^{2}X''} ,\end{aligned}}$

on aura (n^o 14), en faisant $\varpi =3,$

$r={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt[{3}]{\theta '_{1}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{1}}}}{3}}.$

24. Venons à l’équation

$x^{11}-1=0,$

laquelle, étant divisée par $x-1,$ s’abaisse au dixième degré et devient

$x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0.$

On voit, par la Table du n^o 4, que la plus petite racine primitive pour le nombre $11$ est $2\,;$ ainsi la suite des restes, qu’on trouvera facilement