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22. Maintenant on fera

$t=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{2}+\alpha ^{3}r^{6}+\alpha ^{4}r^{4}+\alpha ^{5}r^{5},$

en prenant d’abord pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{6}-1=0\,;$

ensuite on formera la fonction $\theta =t^{6}\,;$ mais, comme l’exposant $6=2.3,$ on pourra simplifier le calcul et les résultats par la méthode du n^o 11, en ne prenant d’abord pour $\alpha$ qu’une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

ce qui, à cause de $\alpha ^{2}=1,$ réduira l’expression de $t$ à celle-ci

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,$

dans laquelle

$\mathrm {X} '=r+r^{2}+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{3}+r^{6}+r^{5}.$

On aura ensuite

$\theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{où}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} ,$

et l’on trouvera après le développement, à cause de $r^{7}=1,$

${\begin{aligned}\xi ^{0}=&3\left(r+r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right),\\\xi '=&2\left(3+r\ \ +r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right).\end{aligned}}$

Or $r+r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5},$ somme des racines, est $=-1\,;$ donc $\xi ^{0}=-3,\ \xi '=4,$ et la valeur de $\theta$ se réduira à $\theta =-3+4\alpha .$ De là, en faisant $\alpha =-1,$ on aura $\theta '=-7,$ et l’on trouvera sur-le-champ les deux racines

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ '=&{\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{2}}\\\mathrm {X} ''=&{\frac {-1-{\sqrt {-7}}}{2}}\end{aligned}}$

23. Considérons maintenant les trois termes de l’expression de $\mathrm {X} '$ comme les racines d’une équation du troisième degré ; prenant $\alpha$ pour racine de l’équation

$y^{3}-1=0,$