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CHAPITRE III.

nouvelle méthode pour approcher des racines des équations numériques.

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18. Soit l’équation

$(a)\qquad \qquad \qquad \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\ldots +\mathrm {K} =0,$

et supposons qu’on ait déjà trouvé, par la méthode précédente ou autrement, la valeur entière et approchée d’une de ses racines réelles et positives ; soit cette première valeur $p,$ en sorte que l’on ait

$x>p\quad {\text{et}}\quad x<p+1,$

on fera

$x=p+{\frac {1}{y}}\,;$

et substituant cette valeur dans l’équation proposée, à la place de $x\,;$ on aura_1, après avoir multiplié toute l’équation par $y^{m}$ et ordonné les termes par rapport à $y,$ une équation de cette forme

$(b)\qquad \qquad \qquad \mathrm {A} 'y^{m}+\mathrm {B} 'y^{m-1}+\mathrm {C} 'y^{m-2}+\ldots +\mathrm {K} '=0.$

Or, comme (hypothèse) ${\frac {1}{y}}>0$ et $<1,$ on aura $y>0\,;$ donc l’équation $(b)$ aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l’unité.

On cherchera donc, par les méthodes du Chapitre I^er, la valeur entière approchée de cette racine ; et comme cette racine doit être nécessairement positive, il suffira de considérer y comme positif (n^o 4).

Ayant trouvé la valeur entière approchée de $y,$ que je nommerai $q,$ on fera ensuite

$y=q+{\frac {1}{z}},$