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et substituant cette valeur de $y$ dans l’équation $(b)$ , on aura une troisième équation en $z$ de cette forme

(c)\qquad \qquad \qquad \mathrm {A} ''z^{m}+\mathrm {B} ''z^{m-1}+\mathrm {C} ''z^{m-2}+\ldots +\mathrm {K} ''=0,

laquelle aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande què l’unité, dont on pourra trouver de même la valeur entière approchée.

Cette valeur approchée de $z$ étant nommée $r,$ on fera

z=r+{\frac {1}{u}}\,;

et, substituant, on aura une équation en $u,$ qui aura au moins une racine réelle plus grande que l’unité, et ainsi de suite.

En continuant de la même manière, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de la racine cherchée ; mais, s’il arrive que quelqu’un des nombres $p,q,\ldots$ soit une racine exacte, alors on aura $x=p,$ ou $y=q,\ldots ,$ et l’opération sera terminée ; ainsi, dans ce cas, on trouvera pour $x$ une valeur commensurable.

Dans tous les autres cas, la valeur de la racine sera nécessairement incommensurable, et l’on pourra seulement en approcher aussi près qu’on voudra.

19. Si l’équation proposée a plusieurs racines réelles positives, on pourra trouver, par les méthodes exposées dans le Chapitre I^er, la valeur entière approchée de chacune de ces racines ; et nommant ces valeurs $p,p',p'',\ldots ,$ on les emploiera successivement pour approcher davantage de la vraie valeur de chaque racine. Il faudra seulement remarquer :

1^o Que si les nombres $p,p',p'',\ldots$ sont tous différents l’un de l’autre, alors les transformées $(b),(c),\ldots$ du numéro précédent n’auront chacune qu’une seule racine réelle et plus grande que l’unité car si, par exemple, l’équation $(b)$ avait deux racines réelles plus grandes que l’unité, telles que $y'$ et $y'',$ on aurait donc

x=p+{\frac {1}{y'}}\quad {\text{et}}\quad x=p+{\frac {1}{y''}}\,;