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mée $(b),$ en mettant, dans les formules précédentes, $q$ à la place de $p,$ $\mathrm {A'',B'',C''} ,\ldots$ à la place de $\mathrm {A',B',C'} ,\ldots ,$ et $\mathrm {A',B',C'} ,\ldots$ à la place de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ et ainsi de suite.

De là il est évident que le premier coefficient $\mathrm {A} ',$ ou $\mathrm {A} '',$ ne sera jamais nul, à moins que le nombre $p,$ ou $q,\ldots$ ne soit une racine exacte, auquel cas nous avons vu que la fraction continue se termine à ce nombre (n^o 18). En effet, si $\mathrm {A} '=0,$ ou $\mathrm {A} ''=0,\ldots ,$ on aura $y=\infty ,$ ou $z=\infty \,;$ donc $x=p,$ ou $y=q\ldots .$

22. Soient donc $p,q,r,s,t,\ldots$ les valeurs entières approchées des racines des équations $(a),(b),(c),\ldots ,$ en sorte que l’on ait

$x=p+{\frac {1}{y}},\quad y=q+{\frac {1}{z}},\quad z=r+{\frac {1}{u}},\quad \ldots .$

Substituant successivement ces valeurs dans celle de $x,$ on aura

$x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r+{\cfrac {1}{s+\ddots }}}}}}.$

Ainsi la valeur de $x,$ c’est-à-dire de la racine cherchée, sera exprimée par une fraction continue. Or on sait que ces sortes de fractions donnent toujours l’expression la plus simple, et en même temps la plus exacte qu’il est possible, d’un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel.

Huyghens paraît être le premier qui ait remarqué cette propriété des fractions continuels, et qui en ait fait usage pour trouver les fractions les plus simples et en même temps les plus approchantes d’une fraction quelconque donnée. (Voir son Traité De Automato planetario.)

Plusieurs habiles géomètres ont ensuite développé davantage cette théorie et en ont fait différentes applications ingénieuses et utiles ; mais on n’avait pas encore pensé, ce me semble, à s’en servir dans la résolution des équations.