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2^o Qu’on aura

${\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},\quad \ldots ,$

de sorte que les fractions

${\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad \ldots$

ne peuvent jamais différer de la vraie valeur de $x$ que d’une quantité respectivement moindre que

${\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {1}{\gamma '\delta '}},\quad \ldots ,$

d’où il sera facile de juger de la quantité de l’approximation.

En général, puisque $\beta '>\alpha ',\ \gamma '>\beta ',\ \ldots ,$ on aura

${\frac {1}{\alpha '^{2}}}>{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '^{2}}}>{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad \ldots ,$

d’où l’on voit que l’erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction.

3^o Que chaque fraction approchera de la valeur de $x,$ non-seulement plus que ne fait aucune des fractions précédentes, mais aussi plus que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui aurait un moindre dénominateur. En effet, si la fraction ${\frac {\mu }{\mu '}},$ par exemple, approchait plus que la fraction ${\frac {\gamma }{\gamma '}},$ $\gamma '$ étant $>\mu ',$ il faudrait que la quantité ${\frac {\mu }{\mu '}}$ se trouvât entre ces deux ${\frac {\gamma }{\gamma '}}$ et ${\frac {\delta }{\delta '}}\,;$ donc

${\frac {\mu }{\mu '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {1}{\gamma '\delta '}}\quad {\text{et}}\quad >0\,;$

donc

$\mu \gamma '-\mu '\gamma <{\frac {\mu '}{\delta '}}<1\quad {\text{et}}\quad >0\,;$

ce qui ne se peut, puisque $\gamma ,\gamma ',\mu ,\mu '$ sont des nombres entiers.