24. Les fractions peuvent être appelées fractions principales, parce qu’elles convergent le plus qu’il est possible vers la valeur cherchée ; mais, quand les nombres diffèrent de l’unité, on peut encore trouver d’autres fractions convergentes vers la même valeur, et qu’on appellera, si l’on veut, fractions secondaires.
Par exemple, si est on peut, entre les fractions et qui sont toutes deux moindres que la valeur de insérer autant de fractions secondaires qu’il y a d’unités dans en mettant successivement au lieu de De cette manière, à cause de et on aura cette suite de fractions
dont les deux extrêmes sont les deux fractions principales et dont les intermédiaires sont des fractions secondaires.
Or, si l’on prend la différence entre deux fractions consécutives quelconques de cette suite, comme entre et on trouvera de sorte que cette différence sera toujours positive et ira en diminuant d’une fraction à l’autre ; d’où il s’ensuit que, comme la dernière fraction est moindre que la vraie valeur de la fraction continue, les fractions dont il s’agit seront toutes plus petites que cette valeur, et seront en même temps convergentes vers cette même valeur.
On fera le même raisonnement par rapport à toutes les autres fractions principales ; et si l’on ajoute à ces fractions les deux fractions et dont la première est toujours plus petite et dont la seconde est plus grande que toute quantité donnée, on pourra form\delta deux séries de fractions convergentes vers la valeur cherchée, dont l’une contiendra toutes les fractions plus petites que cette valeur, et dont l’autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la même valeur.
