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$z=1,2,\ldots ,$ ce qui donne les résultats $-1,\ 7\,;$ d’où l’on conclut que $1$ est la valeur entière approchée de $z$.

On fera donc $z=1+{\frac {1}{u}},$ et l’on aura, en changeant les signes,

$u^{3}-3u^{2}-4u-1=0,$

d’où l’on trouvera, de la même manière que ci-dessus, que la valeur entière approchée de $u$ sera $4.$

Ainsi on fera $u=4+{\frac {1}{\scriptstyle {\mathcal {W}}}},$ et ainsi de suite.

Donc les deux racines positives de l’équation proposée seront

${\begin{aligned}x=&1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}},\\x=&1+{\frac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, si l’on veut, des fractions convergentes, comme dans l’exemple précédent (n^os 23 et 24).

Pour trouver maintenant la valeur approchée de la racine négative, on reprendra l’équation

$x^{3}-7x-7=0,$

dans laquelle on a déjà trouvé que la valeur entière approchée est $3\,;$ ainsi l’on fera $x=3+{\frac {1}{y}},$ ce qui donnera, en changeant les signes,

$y^{3}-20y^{2}-9y-1=0,$

et comme cette équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle plus grande que $1$ (n^o 19, 2^o), on en trouvera la valeur approchée en faisant $y=1,2,\ldots ,$ jusqu’à ce que l’on rencontre deux résultats