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laquelle, à cause que $1$ est la valeur approchée de deux racines, aura nécessairement (n^o 19, 2^o) deux racines plus grandes que l’unité.

J’essaye d’abord si je peux trouver les valeurs approchées de ces deux racines par la substitution des nombres entiers $0,1,2,\ldots ,$ et, comme il n’y a que le terme $4y^{2}$ de négatif, il suffira (n^o 13, 1^o) de pousser les substitutions jusqu’à ce que l’on ait $y^{3}{\underset {>}{=}}4y^{2},$ c’est-à-dire jusqu’à $y=4\,;$ or, en faisant $y=0,1,2,3,4,$ j’ai les résultats $1,1,-1,1,13\,;$ d’où je conclus que les racines cherchées sont, l’une entre les nombres $1$ et $2,$ et l’autre entre les nombres $2$ et $3,$ de sorte que les valeurs approchées de $y$ seront $1$ et $2.$

On fera donc :

1^o $y=1+{\frac {1}{z}},$ et l’on aura

$z^{3}-2z^{2}-z+1=0,$

équation qui n’aura plus qu’une racine réelle plus grande que l’unité (n^o 19, 2^o) ; ainsi l’on supposera successivement $z=1,2,\ldots ,$ jusqu’à ce que l’on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire ; or on trouve que $z=2$ donne $-1,$ et $z=3$ donne $+7\,;$ donc $2$ sera la valeur entière approchée de $z$.

On fera donc $z=2+{\frac {1}{u}},$ et, substituant, on aura, en changeant les signes,

$u^{3}-3u^{2}-4u-1=0.$

On supposera de même $u=1,2,\ldots ,$ et l’on trouvera que la valeur entière approchée de $u$ sera $4.$

On fera $u=4+{\frac {1}{\scriptstyle {\mathcal {W}}}},$ et ainsi de suite.

2^o On fera $y=2+{\frac {1}{z}},$ et, substituant dans l’équation précédente en $y,$ on aura, après avoir changé les signes,

$z^{3}+z^{2}-2z-1=0\,;$

cette équation n’aura, comme la précédente én $z,$ qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité, de sorte qu’il n’y aura qu’à faire