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proposée sont réelles ou non ; 2^o si le nombre des racines réelles est un de ceux-ci $1,4,5,8,9,12,13,\ldots ,$ ou bien s’il est un de ceux-ci $2,3,6,7,$ $10,11,\ldots ,$ ce qui suffira pour déterminer le nombre des racines réelles, et des imaginaires dans les équations qui ne passent pas le cinquième degré, et dans toutes les équations où l’on saura d’avance que les racines imaginaires ne sauraient être plus de quatre.

Peut-être qu’en poussant plus loin cette théorie, on pourrait trouver des règles sûres pour déterminer le nombre des racines réelles dans les équations de degrés quelconques, les méthodes que l’on a proposées jusqu’à présent pour cet objet étant ou insuffisantes, comme celles de Newton, Maclaurin, etc., ou impraticables, comme celles de Stirling et de De Gua, qui supposent la résolution des équations des degrés inférieurs.

ARTICLE III

Où l’on applique la théorie précédente aux équations des second,
troisième et quatrième degrés.

37. Soit l’équation proposée du second degré, comme

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0\,;$

l’équation des différences sera du degré ${\frac {2.1}{2}}=1,$ et l’on trouvera, par la méthode du n^o 8, que cette équation sera

$\upsilon -a=0,$

où l’on aura

$4a=\mathrm {A^{2}-4B} .$

Ainsi les racines seront toutes deux réelles ou toutes deux imaginaires, suivant que l’on aura $\mathrm {A^{2}-4B} >0$ ou $<0,$ et elles seront égales lorsque $\mathrm {A^{2}=4B} .$

38. Soit proposée l’équation générale du troisième degré

$x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0\,;$