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Donc le dernier terme de l’équation des différences sera nécessairement positif ou négatif, suivant que le nombre ${\frac {p(p-1)}{2}}$ sera pair ou impair, c’est-à-dire suivant que le nombre des combinaisons des racines réelles de la proposée, prises deux à deux, sera pair ou impair.

35. 1^o Supposons que ce dernier terme soit positif, il faudra en ce cas que ${\frac {p(p-1)}{2}}$ soit pair ; donc ou

${\frac {p}{2}}=2\lambda \quad {\text{et}}\quad p=4\lambda ,$

ou

${\frac {p-1}{2}}=2\lambda \quad {\text{et}}\quad p=4\lambda +1\,;$

d’où il s’ensuit que, dans ce cas, le nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de $4$ si ce nombre est pair, c’est-à-dire si le degré de l’équation est pair ; ou multiple de $4$ plus $1$ si le degré de l’équation est impair. Ainsi il sera impossible que l’équation ait $2,$ ou $3,$ ou $6,$ ou $7,\ldots$ racines réelles.

2^o Supposons que le dernier terme de l’équation des différences soit négatif ; il faudra alors que \frac{p(p-1)}{2} soit impair ; donc ou

${\frac {p}{2}}=2\lambda +1\quad {\text{et}}\quad p=4\lambda +2,$

ou

${\frac {p-1}{2}}=2\lambda +1\quad {\text{et}}\quad p=4\lambda +3,$

d’où il s’ensuit que, dans ce cas, le nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de $4$ plus $2$ si le degré de l’équation est pair, ou multiple de $4$ plus $3$ si ce degré est impair ; de sorte qu’il sera impossible que l’équation ait en ce cas $1,$ ou $4,$ ou $5,$ ou $8,$ ou $9,\ldots$ racines réelles.

36. Ainsi, par l’inspection seule des signes de l’équation des différences, on sera en état de juger : 1^o si toutes les racines de l’équation