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est négative, la proposée aura nécessairement deux racines réelles et deux imaginaires ; mais si cette quantité est positive, alors la proposée aura toutes ses racines réelles ou toutes imaginaires.

Or toutes les racines seront réelles si les valeurs de tous les coefficients $a,b,c,d,e,f$ sont positives ; donc elles seront toutes imaginaires si, le dernier coefficient $f$ étant positif, quelqu’un des autres se trouve négatif.

Supposons donc le coefficient $f$ positif, en sorte que l’on ait

$4^{4}\mathrm {D^{3}-2^{3}.4^{2}B^{2}D^{2}+4^{2}.3^{2}C^{2}BD+4^{2}B^{4}D-4C^{2}B^{3}-3^{3}C^{4}} >0,$

et l’on trouvera que tous les autres coefficients seront aussi positifs si l’on a en même temps

$\mathrm {B} <0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B^{2}-4D} >0,$

et qu’au contraire quelqu’un d’eux deviendra nécessairement négatif si

$\mathrm {B} >0\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {B^{2}-4D} <0.$

Ainsi, dans le premier cas, les quatre racines de l’équation seront toutes réelles, et dans le second elles seront toutes imaginaires.

On pourrait de même trouver les conditions qui rendent les racines des équations du cinquième degré toutes réelles, ou en partie réelles et en partie imaginaires ; mais comme, dans ce cas, l’équation des différences monterait au degré ${\frac {5.4}{2}}=10,$ le calcul deviendrait extrêmement prolixe et embarrassant.

ARTICLE IV.

Sur la manière de trouver les racines imaginaires d’une équations.

40. Nous avons vu, dans l’Art. II, que chaque couple de racines imaginaires correspondantes $\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\ \alpha -\beta {\sqrt {-1}}$ donne nécessairement dans l’équation des différences une racine réelle négative $-4\beta ^{2}\,;$ d’où il s’ensuit qu’en cherchant les racines réelles négatives de