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cette équation on trouvera nécessairement les valeurs de $-4\beta ^{2},$ d’où l’on aura celles de $\beta$ à l’aide desquelles on pourra ensuite trouver les valeurs correspondantes de $\alpha ,$ comme nous l’avons enseigné dans le n^o 17 ; de sorte qu’on aura, par ce moyen, l’expression de chaque racine imaginaire de l’équation proposée ; ce qui est souvent nécessaire, surtout dans le Calcul intégral. Voici seulement une observation qui peut servir à répandre un plus grand jour sur cette théorie, et à dissiper en même temps les doutes qu’on pourrait se former sur son exactitude et sa généralité.

41. Lorsque les parties réelles $\alpha ,\gamma ,\ldots$ des racines imaginaires

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\quad \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\quad \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\quad \ldots$

sont inégales, tant entre elles qu’avec les racines réelles $a,b,c,\ldots ,$, il est évident, par la Table de l’Art. II, que l’équation des différences n’aura absolument d’autres racines réelles négatives que celles-ci $-4\beta ^{2},-4\delta ^{2},\ldots ,$ de sorte que le nombre de ces racines sera le même que celui des couples de racines imaginaires dans l’équation proposée.

Mais s’il arrivé que, parmi les quantités $\alpha ,\gamma ,\ldots ,$ il s’en trouve d’égales entre elles ou d’égales aux quantités $a,b,c,\ldots ,$, alors l’équation des différences aura nécessairement plus de racines négatives que la proposée n’aura de couples de racines imaginaires.

En effet, soit $a=\alpha ,$ les deux racines imaginaires

$\left(\alpha -a+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2}\quad \left(\alpha -a-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2}$

deviendront $-\beta ^{2}$ et $-\beta ^{2},$ et par conséquent réelles négatives.

De sorte que, si l’équation proposée ne contient, par exemple, que les deux imaginaires

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad {\text{et}}\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},$

l’équation des différences contiendra, dans le cas de $\alpha =a,$ outre la