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par ee moyen, chaque racine négative $-\scriptstyle {\mathcal {W}}$ donnera deux racines imaginaires

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}}.$

2^o Que si, parmi les racines réelles négatives de l’équation des différences, il y en a d’égales entre elles, alors chaque racine inégale, s’il y en a, donnera toujours, comme dans le cas précédent, une couple de racines imaginaires ; mais chaque couple de racines égales pourra donner aussi deux couples de racines imaginaires, ou n’en donner aucune ainsi deux racines égales donneront ou quatre racines imaginaires ou aucune trois racines égales donneront ou six ou deux racines quatre racines égales donneront ou huit ou quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

43. Or soient, par exemple, $-\scriptstyle {\mathcal {W}}$ et $-\scriptstyle {\mathcal {W}}$ deux racines égales négatives de l’équation des différences ; on fera $\beta ={\frac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}},}}{2}}$ comme ci-dessus, et, substituant cette valeur de $\beta$ dans les équations (H) du numéro cité on cherchera leur commun diviseur en ne poussant la division que jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où $\alpha$ ne se trouve qu’à la seconde dimension, à cause que la valeur de $\beta$ est double, comme nous l’avons déjà remarqué dans l’endroit cité.

Ainsi, faisant ce reste égal à zéro, on aura pour la détermination de $\alpha$ une équation du second degré, laquelle aura, par conséquent, ou deux racines réelles ou deux imaginaires.

Dans le premier cas, nommant ces deux racines $\alpha '$ et $\alpha '',$ on aura les quatre racines imaginaires

$\alpha '+\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha '-\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha ''+\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha ''-\beta {\sqrt {-1}}\,;$

dans le second cas, les valeurs de $\alpha$ étant imaginaires contre l’hypothèse, ce sera une marque que les deux racines égales $-\scriptstyle {\mathcal {W}},\ -\scriptstyle {\mathcal {W}}$ ne donneront point de racines imaginaires de la proposée.

44. S’il y avait dans l’équation des différences trois racines égales et