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racine réelle négative $-4\beta ^{2},$ encore ces deux-ci $-\beta ^{2},-\beta ^{2},$ égales entre elles.

D’où l’on voit que, lorsque l’équation des différences a trois racines réelles négatives, dont deux sont égales entre elles, alors la proposée peut avoir ou trois couples de racines imaginaires, ou un seulement.

Si la proposée contient quatre racines imaginaires

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\quad \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\quad \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\quad \ldots$

alors l’équation des différences contiendra d’abord les deux racines réelles négatives $-4\beta ^{2},-4\delta ^{2}\,;$ ensuite, si $\alpha =a,$ elle aura encore ces deux-ci $-\beta ^{2},-\beta ^{2}\,;$ si $\gamma =b,$ elle aura de même ces deux autres-ci $-\delta ^{2},-\delta ^{2}\,;$ enfin, si l’on avait $\alpha =\gamma ,$ alors les quatre racines imaginaires

${\begin{array}{ll}\left[\alpha -\gamma +(\beta -\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},&\left[\alpha -\gamma -(\beta -\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},\\\left[\alpha -\gamma +(\beta +\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},&\left[\alpha -\gamma -(\beta +\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2}\end{array}}$

deviendraient

$-(\beta -\delta )^{2},\quad -(\beta -\delta )^{2},\quad -(\beta +\delta )^{2},\quad -(\beta +\delta )^{2},$

c’est-à-dire réelles négatives, ou égales deux à deux.

42. De là il est facile de conclure :

1^o Que, lorsque toutes les racines réelles négatives de l’équation des différences sont inégales entre elles, alors la proposée aura nécessaireinent autant de couples de racines imaginaires qu’il y aura de ces racines.

Et, dans ce cas, nommant $-\scriptstyle {\mathcal {W}}$ une quelconque de ces racines, on aura d’abord $\beta ={\frac {\sqrt {\scriptstyle {\mathcal {W}}}}{2}}\,;$ cette valeur étant ensuite substituée dans les deux équations (H) du n^o 17, on cherchera leur plus grand commun diviseur, en poussant la division jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où $\alpha$ ne se trouve plus qu’à la première dimension et, faisant ce reste égal à zéro, on aura la valeur de $\alpha$ correspondante à celle de $\beta \,;$