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mais on a

$y=r+{\frac {1}{s+{\cfrac {1}{y}}}},$

ce qui donne

$sy^{2}-rsy-r=0\,;$

donc, substituant pour $y$ sa valeur en $x,$ on aura

$s(x-p)^{2}-rs(x-p)\left[1-q(x-p)\right]-r\left[1-q(x-p)\right]^{2}=0,$

équation qui, étant développée et ordonnée par rapport à $x,$ montera au second degré.

46. On voit, par ce que nous venons de dire, que le cas dont il s’agit doit avoir lieu toutes les fois que, dans la suite des équations transformées $(a),(b),(c),(d),\ldots$ du n^o 18, il s’en trouvera, deux qui auront les mêmes racines ; car, si la racine $z,$ par exemple, de l’équation $(c)$ était la même que la racine $x$ de l’équation $(a)$, on aurait

$x=p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{x}}}},$

ce qui est le cas que nous avons examiné ci-dessus, et ainsi des autres. Donc, quand on voit que dans une fraction continue certains nombres reviennent dans le même ordre, alors, pour s’assurer si la fraction doit être réellement périodique à l’infini, il n’y aura qu’à examiner si les racines des deux équations, qui ont la même valeur entière approchée, sont parfaitement égales, c’est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune ce qu’on reconnaîtra aisément en cherchant leur plus grand commun diviseur, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations, s’il y en a ; or, comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la racine d’une équation du second degré, il s’ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.