Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/71

47. Supposons donc qu’on ait reconnu que, parmi les différentes équations transformées, il s’en trouve deux qui aient la même racine ; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l’infini, de sorte qu’on pourra la continuer aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres ; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du n^o 23 sans être obligé de les calculer toutes l’une après l’autre par les formules données.

Pour cet effet, nous supposerons que l’on ait en général

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},\quad x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},\quad x_{2}=\lambda _{3}+{\frac {1}{x_{3}}},\quad \ldots ,$

en sorte que, $x$ étant la racine cherchée, $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par $y,z,u,\ldots ,$ et l’on aura

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ddots }}}}.$

Donc, faisant, comme dans le numéro cité,

(A)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}l\ \ &=1,&\mathrm {L} \ \ &=0,\\l_{1}&=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}&=1,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+l,&\mathrm {L} _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {L} _{1},\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},&\qquad \mathrm {L} _{4}&=\lambda _{4}\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}\right.$

on aura ces fractions convergentes vers $x$

${\frac {l}{\mathrm {L} }},\quad {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\quad {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\quad {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\quad {\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},\quad \ldots .$

Maintenant, l’équation

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}}$

donnera

$xx_{1}=x_{1}\lambda _{1}+1=x_{1}l_{1}+1\,;$