47. Supposons donc qu’on ait reconnu que, parmi les différentes équations transformées, il s’en trouve deux qui aient la même racine ; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l’infini, de sorte qu’on pourra la continuer aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres ; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du no 23 sans être obligé de les calculer toutes l’une après l’autre par les formules données.
Pour cet effet, nous supposerons que l’on ait en général
en sorte que, étant la racine cherchée, soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par et l’on aura
Donc, faisant, comme dans le numéro cité,
(A)
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on aura ces fractions convergentes vers
Maintenant, l’équation
donnera