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le signe supérieur ayant lieu lorsque $\varpi$ est un nombre pair, et l’inférieur lorsque $\varpi$ est impair.

Donc, faisant ces substitutions dans les deux dernières équations du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}\pm (l_{\mu }\,\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\,\ )(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&(l_{\rho }\ \mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\ \mathrm {H} _{\varpi })x_{\mu }+(l_{\rho -1}\ h_{\varpi }-l_{\rho }\ h_{\varpi -1}),\\\pm (\mathrm {L} _{\mu }\ x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1})(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} x_{\mu }+(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}$

les signes ambigus dépendant du nombre, comme nous l’avons vu ci-dessus.

Maintenant, si dans l’équation (E) on fait $\sigma =\nu ,$ on aura, à cause de $x_{\mu +\nu }=x_{\mu }$ (hypothèse)

$x_{\mu }={\frac {h_{\nu }x_{\mu }+h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}}},$

d’où l’on tire l’équation en $x_{\mu }$

(F)

$\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }^{2}-(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})x_{\mu }-h_{\nu -1}=0,$

laquelle donne

$x_{\mu }={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}+{\sqrt {(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})^{2}+4\mathrm {H} _{\nu }h_{\nu -1}}}}{2\mathrm {H} _{\nu }}}.$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {P} ={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}}{2\mathrm {H} _{\nu }}},\quad \mathrm {Q=P^{2}} +{\frac {h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }}},$

en sorte que l’on ait

$x_{\mu }=\mathrm {P+{\sqrt {Q}}} \,;$

substituant cette valeur, on aura

${\begin{aligned}\pm &\left(l_{\mu }\mathrm {P} +l_{\mu -1}+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=(l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi })\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}),\\\pm &\mathrm {\left(L_{\mu }^{2}+P+L_{\mu -1}+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} \mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}$

d’où, à cause de l’ambiguïté du radical ${\sqrt {\mathrm {Q} }},$ on tirera quatre équations, par lesquelles on pourra déterminer $l_{\rho },l_{\rho -2},\mathrm {L} _{\rho },\mathrm {L} _{\rho -2}.$