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on aura en général

(D)

$\left\{{\begin{aligned}x_{\mu }x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\sigma }=&h_{\sigma }\,x_{\mu +\sigma }+h_{\sigma -1},\\x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\sigma }=&\mathrm {H} _{\sigma }x_{\mu +\sigma }+\mathrm {H} _{\sigma -1}.\end{aligned}}\right.$

Donc on aura

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\varpi }=\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1},$

et, à cause de $x_{\mu +\nu }=x_{\mu }$ (hypothèse),

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }=\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}.$

De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}\left(l_{\mu }\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\ \right)\left(\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}\right)^{n}=&l_{\rho }\ x_{\mu +\varpi }+l_{\rho -1},\\\left(\mathrm {L} _{\mu }x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}\right)\left(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}\right)^{n}=&\mathrm {L} _{\rho }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {L} _{\rho -1}.\end{aligned}}$

49. Or les équations (D), étant divisées l’une par l’autre, donnent

(E)

$x_{\mu }={\frac {h_{\sigma }x_{\mu +\sigma }+h_{\sigma -1}}{\mathrm {H} _{\sigma }x_{\mu +\sigma }+\mathrm {H} _{\sigma -1}}},$

d’où l’on tire

$x_{\mu +\sigma }={\frac {\mathrm {H} _{\sigma -1}x_{\mu }-h_{\sigma -1}}{h_{\sigma }-\mathrm {H} _{\sigma }x-\mu }}.$

Donc, faisant $\sigma =\varpi ,$ on aura

$x_{\mu +\varpi }={\frac {\mathrm {H} _{\varpi -1}x_{\mu }-h_{\varpi -1}}{h_{\varpi }-\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu }}},$

et de là

$\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {H} _{\varpi -1}={\frac {h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}}{h_{\varpi }-\mathrm {H} _{\varpi }x_{\mu }}}\,;$

mais il est facile de voir, par la nature des quantités $h,h_{1},h_{2},\ldots ,$ $\mathrm {H_{1},H_{2},H_{3}} ,\ldots ,$ que l’on a

$\mathrm {H} _{1}h-h_{1}\mathrm {H} =1,\quad \mathrm {H} _{2}h_{1}-h_{2}\mathrm {H} _{1}=-1,\quad \mathrm {H} _{3}h_{2}-h_{3}\mathrm {H} _{2}=1,\quad \ldots ,$

d’où l’on aura en général

$h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}=\pm 1,$