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55. Nous venons de démontrer qu’en continuant la série des nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et qu’ensuite la série doit nécessairement devenir périodique ; or je dis que, dès que, dans la même série, on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme $\mathrm {E_{\mu },E_{\mu +1}} ,$ qui soient de même signe, on sera assuré que l’un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.

En effet, comme $\mathrm {E} _{\gamma }$ et $\mathrm {E} _{\gamma +1}$ sont de même signe, il est clair que la transformée

$\mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0$

aura nécessairement une racine positive et l’autre négative, de sorte qu’elle n’en pourra avoir qu’une seule qui soit plus grande que l’unité ; donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes différents (n^o 53) par conséquent, tous les nombres $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1},\ E_{\gamma +2}} ,\ldots$ seront de même signe, de sorte que chacun d’eux sera moindre que $\mathrm {B} ,$ et que chacun des nombres $\varepsilon _{\gamma },\ \varepsilon _{\gamma +1},\ \varepsilon _{\gamma +2},\ldots$ sera moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ (numéro cité).

56. Or comme on a

$\mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}} ,$

il est visible que les nombres $\mathrm {E_{\gamma },E_{\gamma +1}}$ seront, ou tous les deux moindres que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ ou que, si l’un est plus grand, l’autre en sera nécessairement moindre, de sorte qu’il y en aura au moins toujours un qui sera moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Supposons que ce soit $\mathrm {E} _{\gamma }\,:$ je vais prouver que les nombres

$\mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots$

seront tous nécessairement du même signe que le radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$ En effet, puisque les racines $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ des équations transformées doivent être toutes plus grandes que l’unité par la nature de la fraction continue, on aura donc aussi $x_{\gamma }>1,$ et $x_{\gamma +1}>1,$ et ainsi de suite ;