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de fois ; et, par la même raison, il faudra aussi qu’une même combinaison de termes correspondants dans les deux séries revienne une infinité de fois ; d’où il s’ensuit qu’on aura nécessairement, par exemple,

$\mathrm {E} _{\gamma +\delta +\nu }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\gamma +\delta +\nu }=\varepsilon _{\gamma +\delta },$

ou bien, faisant $\gamma +\delta =\mu ,$

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu }\,;$

donc, à cause de

$\mathrm {B=\varepsilon _{\mu }^{2}+E_{\mu }E_{\mu +1}=\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}+E_{\mu +\nu }E_{\mu +\nu +1}} ,$

on aura aussi

$\mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1}\,;$

mais on a

$x_{\mu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\nu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +\nu +1}}} \,;$

donc $x_{\mu +\nu }=x_{\mu }\,;$ donc la fraction continue sera nécessairement périodique (n^o 48).

54. En effet, on voit, par les formules du n^o 52, que si l’on a

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },$

on aura

$\mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},$

et ainsi de suite ; de sorte qu’en général les termes des trois séries

$\mathrm {E,\ \ E_{1},\ \ E_{2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon ,\ \ \varepsilon _{1},\ \ \varepsilon _{2},\ \ \ldots ,\quad \lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \ldots ,$

qui auront pour exposant $\mu +n\nu +\varpi ,$ seront les mêmes que les termes précédents dont les exposants seront $\mu +\varpi ,$ en prenant pour $n$ un nombre quelconque entier positif.

Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes $\mathrm {E} _{\mu },\ \varepsilon _{\mu },\ \lambda _{\mu +1},$ et leurs périodes seront de $\nu$ termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre, à l’infini.