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cité demeurent les mêmes en y changeant les signes de toutes les quantités $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ et du radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ de sorte qu’on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$$\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ avec des signes contraires.

57. Cela posé, je dis que, si deux termes correspondants quelconques des suites $\mathrm {E_{\gamma },E_{\gamma +1},E_{\gamma +2}} ,\ldots ,\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\varepsilon _{\gamma +2},\ldots$ sont donnés, tous les précédents dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.

Supposons, par exemple, que $\mathrm {E} _{\gamma +3}$ et $\varepsilon _{\gamma +3}$ soient donnés (on verra aisément que la démonstration est générale, quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du n^o 52 et des conditions du numéro précédent. On aura d’abord

$\varepsilon _{\gamma +3}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +2}\,;$

donc

$\varepsilon _{\gamma +2}=\lambda _{\gamma +3}\mathrm {E} _{\gamma +3}-\varepsilon _{\gamma +3}\,;$

mais on doit avoir $\varepsilon _{\gamma +2}<{\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ donc il faudra que l’on ait

$\lambda _{\gamma +3}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} .$

On aura de même

$\varepsilon _{\gamma +1}=\lambda _{\gamma +2}\mathrm {E} _{\gamma +2}-\varepsilon _{\gamma +2},$

d’où, à cause de $\varepsilon _{\gamma +1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on tirera

$\lambda _{\gamma +2}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} \,;$

mais il faut, par la nature de la fraction continue, que $\lambda _{\gamma +2}$ soit un nombre entier positif ; donc il faudra qu’on ait

$\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +2}\,;$

or on a aussi

$\mathrm {E_{\gamma +2}E_{\gamma +3}=B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{\gamma +2}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +2}\right)} \,;$

donc

${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +2}<\mathrm {E} _{\gamma +3},$