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savoir, en mettant pour $\varepsilon _{\gamma +2}$ sa valeur ci-dessus,

$\mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +3}E_{\gamma +3}+\varepsilon _{\gamma +3}<E_{\gamma +3}} ,$

d’où

$\lambda _{\gamma +3}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} -1.$

Donc, puisque le nombre $\lambda _{\gamma +3}$ doit être entier, il est clair qu’il ne pourra être égal qu’au nombre entier qui sera immédiatement plus petit que $\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +3}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +3}}} \,;$ ainsi $\lambda _{\gamma +3}$ sera donné, et de là $\varepsilon _{\gamma +2}$ le sera aussi, et comme

$\mathrm {E_{\gamma +2}={\frac {B-\varepsilon _{\gamma +2}^{2}}{E_{\gamma +3}}}} ,$

il est clair que $E_{\gamma +2}$ sera aussi donné. Maintenant on aura

$\varepsilon _{\gamma }=\lambda _{\gamma +1}\mathrm {E} _{\gamma +1}-\varepsilon _{\gamma +1},$

et par conséquent, à cause de $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }},$

$\lambda _{\gamma +1}<\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} .$

Donc, pour que $\lambda _{\gamma +1}$ soit entier positif tel qu’il doit être, il faudra que

$\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}>\mathrm {E} _{\gamma +1}\,;$

par conséquent, à cause de

$\mathrm {E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}=B} -\varepsilon _{\gamma +1}^{2},$

il faudra que

${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +1}<\mathrm {E} _{\gamma +2},$

ou bien, en mettant pour $\varepsilon _{\gamma +1}$ sa valeur ci-dessus,

$\mathrm {{\sqrt {B}}-\lambda _{\gamma +2}E_{\gamma +2}+\varepsilon _{\gamma +2}<E_{\gamma +2}} ,$

d’où l’on tire

$\lambda _{\gamma +2}>\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +2}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} -1.$

De sorte que le nombre $\lambda _{\gamma +2}$ ne pourra être que le nombre entier qui