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au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des fractions ${\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\ {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\ {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\ldots$ convergentes vers la racine de ${\frac {11}{3}}.$

Ainsi, faisant d’abord $n=0,$ on aura les quatre premières fractions ; faisant ensuite $n=1,$ on aura les quatre suivantes, et ainsi de suite : et ces fractions seront

${\frac {1}{1}},\ \ {\frac {2}{1}},\ \ {\frac {21}{11}},\ \ {\frac {23}{12}},\ \ {\frac {67}{35}},\ \ {\frac {90}{47}},\ \ {\frac {967}{505}},\ \ {\frac {1057}{552}},\ \ \ldots ,$

Si l’on voulait avoir, par exemple, le cinquantième terme de cette série, c’est-à-dire la fraction ${\frac {l_{5}0}{\mathrm {L} _{5}0}},$ il n’y aurait qu’à diviser $50$ par $4,$ ce qui donne $12$ de quotient et $2$ de reste, et l’on ferait $n=12\,;$ de sorte qu’en développant la puissance douzième de $23\pm 4{\sqrt {33}},$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&(23)^{12}+66.33(4)^{2}(23)^{10}+495(33)^{2}(4)^{4}(23)^{8}+924(33)^{3}(4)^{6}(23)^{6}\\&+495(33)^{4}(4)^{8}(23)^{4}+66(33)^{5}(4)^{10}(23)^{2}+(33)^{6}(4)^{12},\\\\\mathrm {N} =&12.4(23)^{11}+220(33)(4)^{3}(23)^{9}+792(33)^{2}(4)^{5}(23)^{7}\\&+792(33)^{3}(4)^{7}(23)^{5}+220(33)^{4}(4)^{9}(23)^{3}+12(33)^{5}(4)^{11}23,\end{aligned}}$

on aura

$\left(23\pm 4{\sqrt {33}}\right)^{n}=\mathrm {M} \pm \mathrm {N} {\sqrt {33}}\,;$

donc, substituant cette valeur dans les expressions de $l_{4n+2}$ et $\mathrm {L} _{4n+2},$ on aura, pour la fraction cherchée,

$\mathrm {\frac {2M+11N}{M+6N}} .$

64. Je vais terminer cette Remarque par une observation qui me paraît digne d’attention. Lorsque l’équation proposée a des diviseurs commensurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs seront nécessairement terminées ; et lorsque l’équation aura des diviseurs commensurables du second