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degré à racines réelles, alors les fractions continues qui exprimeront les racines de ces diviseurs seront nécessairement périodiques. Ainsi, la méthode des fractions continues a non-seulement l’avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu’il est possible de la racine cherchée, mais elle a encore celui de donner tous les diviseurs commensurables du premier et du second degré que l’équation proposée peut renfermer. Il serait à souhaiter que l’on pût trouver aussi quelque caractère qui pût servir à faire reconnaître les diviseurs commensurables du troisième, quatrième, degré, lorsqu’il y en a dans l’équation proposée ; c’est du moins une recherche qui me paraît très-digne d’occuper les Géomètres.

ARTICLE III.

Généralisation de la théorie des fractions continues.

65. Nous avons supposé, dans le Chapitre III, que les nombres $p,q,r,\ldots$ étaient les valeurs entières approchées des racines $x,y,z,\ldots ,$ mais plus petites que ces racines ; c’est-à-dire que $p,q,r,\ldots$ étaient les nombres entiers immédiatement plus petits que les valeurs de $x,y,z,\ldots \,;$ cependant il est clair que rien n’empêcherait qu’on ne prît pour $p,q,r,\ldots$ les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines $x,y,z,\ldots .$,

66. Imaginons donc qu’on prenne pour $p$ le nombre entier qui est immédiatement plus grand que $x,$ en sorte que $p>x$ et $p-1<x,$ il est clair qu’il faudra faire, dans ce cas, $x=p-{\frac {1}{y}},$ c’est-à-dire qu’il faudra prendre $y$ négativement, et comme $x<p$ et $>p-1,$ on aura ${\frac {1}{y}}>0$ et $<1,$ et par conséquent $y>1,$ comme dans le cas où l’on aurait pris $p<x$ (n^o 18). Ainsi l’on pourra prendre de nouveau pour $q$ le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que $y,$ ou celui qui serait immédiatement plus grand, et l’on fera, dans le premier cas, $y=q+{\frac {1}{z}},$ et, dans le second, $y=q-{\frac {1}{z}},$ et ainsi de suite.