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donnée de $x,$ comme $x=0,$ que celles qui résultent de l’équation donnée.

Si l’équation proposée n’était que du premier ordre en $x,y,y',$ alors, cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de $y',y'',\ldots$ en $x$ et $y,$ ces valeurs, pour $x=0,$ contiendraient la valeur indéterminée de $y\,;$ par conséquent, les constantes arbitraires dépendraient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante arbitraire_1, de sorte que, dans ce cas, toutes les constantes arbitraires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux, par la même raison, si l’équation proposée était du second ordre en $x,y,y'$ et $y'',$ et ainsi de suite.

65. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations, nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui serviront en même temps d’exercice de calcul.

Soit proposée la série

$1+{\frac {m}{n}}x+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{2}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)(n+2)}}x^{3}+\ldots ,$

dont on demande la somme.

Supposons-la égale à $y,$ en sorte qu’on ait une équation en $x$ et $y\,;$ je multiplie cette équation par $x^{n-1},$ ce qui donne

$yx^{n-1}=x^{n-1}+{\frac {m}{n}}x^{n}+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{n+1}+\ldots .$

Je prends les fonctions primes de tous les termes ; j’ai

$y'x^{n-1}+(n-1)yx^{n-2}$

$=(n-1)x^{n-2}+mx^{n-1}+{\frac {m(m+1)}{n}}x^{n}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)}}x^{n+1}+\ldots ,$

où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de chaque terme.

Je multiplie maintenant l’équation précédente par $x^{m-n}\,;$ j’ai celle-ci

$y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}$

$=(n-1)x^{m-2}+mx^{m-1}+{\frac {m(m+1)}{n}}x^{m}+{\frac {m(m+1)(m+2)}{n(n+1)}}x^{m+1}+\ldots .$