Or on sait que
![{\displaystyle 1+x+x^{2}+\ldots ={\frac {1}{1-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa9727c3e4f4fb1974b29f7ea99679da45758fb)
donc on aurait, dans ce cas,
![{\displaystyle p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+{\frac {x^{m}}{1-x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee2b9ed0f16684e4673dcf9c7981a2c213dc220)
prenant les fonctions primes et substituant la valeur de
on aurait
![{\displaystyle y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}=(n-1)x^{m-2}+{\frac {mx^{m-1}}{1-x}}+{\frac {x^{m}}{(1-x)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1cd8a480c9e981656094ffecb3319cabfc570a)
savoir
![{\displaystyle y'+{\frac {(n-1)y}{x}}={\frac {n-1}{x}}+{\frac {m}{1-x}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52358ce95bc299823e7b54a40536b67defa45f7b)
équation également linéaire du premier ordre.
Cette méthode s’applique à des séries plus compliquées et peut conduire à des équations linéaires d’un ordre supérieur au premier. J’ai cru devoir au moins l’indiquer, étant presque la seule méthode générale pour la sommation des suites.
66. Soit maintenant proposée l’équation
![{\displaystyle y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b368b6a7cd4b0df9e1bb557faf694ff64dcf7b8)
dans laquelle on demande l’expression de
en
Cette expression peut s’obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré. Voici comment on y peut parvenir par la théorie des fonctions.
En prenant les fonctions primes et secondes, on aura
![{\displaystyle y'=\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2},\quad y''=2\mathrm {B} +6x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e87b1d3c202f0e4e35889ebfb202ef198ae0a5a)
si donc je forme la quantité
![{\displaystyle y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be5b0b3c5f84722b2e18784d94a9381a21387bc)
où
sont des coefficients arbitraires, j’aurai un quadrinôme