CHAPITRE XI.
Où l’on donne l’équation primitive d’une équation du premier ordre dans laquelle les variables sont séparées, mais où l’on ne peut point obtenir directement les fonctions primitives de chacun des deux membres. Propriétés remarquables de ces fonctions primitives.
67. Prenons pour dernier exemple l’équation du premier ordre
![{\displaystyle y'={\frac {\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebbd64ab1666d1c9e0704165724efb8653181f8)
En la divisant par le radical en
on aurait une équation où les variables
et y seraient séparées ; mais il serait impossible d’obtenir ainsi l’équation primitive, parce que les deux membres ne sont point réductibles en particulier à des fonctions primes.
Voici néanmoins comment on y peut parvenir par le moyen des fonctions dérivées.
Je suppose d’abord que
et
soient fonctions d’une autre variable
il faudra, pour cela, substituer
à la place de
(no 50) ;
et
seront alors les fonctions primes de
et
regardées comme fonctions de
En supposant que
soit une fonction quelconque de
l’équation donnera pour
une fonction déterminée de
ainsi je puis supposer que
soit une telle fonction de
que l’on ait l’équation
![{\displaystyle x'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69436c746c3c4c9dd4f6ba32a5ca2772f3fb04c)